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类型:战斗民族养成记音乐铃声 地区: 德国 年份:2020-09-30

剧情介绍

广东省韶关市2015届高考模拟数学试卷(理科)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1.(5分)设集合I={x|﹣3<x<3,x∈z},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则A∩(∁IB)等于()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{﹣1,0,1,2}2.(5分)复数z满足(﹣1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)下列函数中,既是奇函数又是在定义域上是减函数的为()A.y=x+1B.y=C.y=﹣x3D.y=lnx4.(5分)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,,则AC=()A.B.C.D.5.(5分)如图所示,该程序运行后输出的结果为()A.14B.16C.18D.646.(5分)设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β7.(5分)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为()A.232B.252C.472D.4848.(5分)列命题中是假命题的个数是()①∃α,β∈R,使cos(α+β)=cosα+sinβ;②∀a>0,函数f(x)=ln2x+lnx﹣a有零点③∃m∈R,使f(x)=(m﹣1)x是幂函数,且在(0,+∞)上递减;④若函数f(x)=|2x﹣1|,则∃x1,x2∈[0,1]且x1<x2,使得f(x1)>f(x2).A.0B.1C.2D.3二.填空题(本大题共6小题,每小题5分,满分30分).9.(5分)函数y=lg(﹣x2﹣2x+3)的定义域是(用区间表示).10.(5分)某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有下表的统计资料如图:x23456y2.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程=1.23x+,则=.11.(5分)已知向量=(2,﹣3),=(x,2),且⊥,则|+|的值为.12.(5分)已知x,y满足约束条件,则目标函数z=2x﹣3y的最大值为.13.(5分)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,其公比q≠1,若a1=b1,a11=b11,且{an}和{bn}各项都是正数,则a6与b6的大小关系是.(填“>”或“=”或“<”)14.(5分)已知抛物线C:y2=2px与双曲线﹣y2=1的右焦点重合,则抛物线C上的动点M到直线l1:4x﹣3y+6=0和l2:x=﹣2距离之和的最小值为.三.解答题(本大题共6题,满分80解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤).15.(12分)已知函数f(x)=2sinx(cosx+sinx)(x∈R)(1)求f()的值;(2)求f(x)在区间[0,π]上的最大值及相应的x值.16.(12分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45].(Ⅰ)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35,40)岁的人数;(Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望.17.(14分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是线段AB中点.(1)证明:D1E⊥CE;(2)求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值;(3)求A点到平面CD1E的距离.18.(14分)已知等差数列{an}中,a1=1,公差d>0,且a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满足对任意的n∈N*均有an+1=b1c1+b2c2+…+bncn成立,求证:c1+c2+…+cn<4.19.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(﹣1,0)、F2(1,0),且经过定点P(1,),M(x0,y0)为椭圆C上的动点,以点M为圆心,MF2为半径作圆M.(1)求椭圆C的方程;(2)若圆M与y轴有两个不同交点,求点M横坐标x0的取值范围;(3)是否存在定圆N,使得圆N与圆M恒相切?若存在,求出定圆N的方程;若不存在,请说明理由.20.(14分)已知函数f(x)=ax+x2﹣xlna,a>1.(1)求证函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)若函数y=|f(x)﹣b+|﹣3有四个零点,求b的取值范围;(3)若对于任意的x∈[﹣1,1]时,都有f(x)≤e2﹣1恒成立,求a的取值范围.广东省韶关市2015届高考模拟数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1.(5分)设集合I={x|﹣3<x<3,x∈z},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则A∩(∁IB)等于()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{﹣1,0,1,2}考点:交、并、补集的混合运算.专题:集合.分析:由全集I及B,求出B的补集,找出A与B补集的交集即可.解答:解:∵集合I={x|﹣3<x<3,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},∴∁IB={0,1},则A∩(∁IB)={1}.故选:A.点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.2.(5分)复数z满足(﹣1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点:复数的代数表示法及其几何意义;复数相等的充要条件.专题:计算题.分析:根据两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数z为=1﹣i,故z对应点的坐标为(1,﹣1),从而得出结论.解答:解:∵复数z满足(﹣1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,∴z=====1﹣i,故复数z对应点的坐标为(1,﹣1),故选D.点评:本题主要考查两个复数代数形式的除法,虚数单位i的幂运算性质,复数与复平面内对应点之间的关系,属于基础题.3.(5分)下列函数中,既是奇函数又是在定义域上是减函数的为()A.y=x+1B.y=C.y=﹣x3D.y=lnx考点:函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.分析:根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可.解答:解:A.y=x+1单调递增,不满足条件,B.y=为奇函数,在定义域上不是单调函数,C.y=﹣x3是奇函数,在定义域上为减函数,D.y=lnx在定义域上为增函数,故选:C点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质.4.(5分)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,,则AC=()A.B.C.D.考点:正弦定理.专题:解三角形.分析:结合已知,根据正弦定理,可求AC解答:解:根据正弦定理,,则故选B点评:本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题5.(5分)如图所示,该程序运行后输出的结果为()A.14B.16C.18D.64考点:程序框图.专题:图表型.分析:根据所给程序框图,模拟运行程序,根据i的值依次判断是否满足判断框中的条件,若不满足则继续执行循环体,若满足,则输出S.解答:解:模拟运行如下:i=10,S=0,∴S=0+2=2,i=10﹣1=9,此时i=9≤3不符合条件,∴S=2+2=4,i=9﹣1=8,此时i=8≤3不符合条件,依次运行,…,∴S=0+2+…+2=12,i=4﹣1=3,此时i=3≤3不符合条件,∴S=0+2+…+2=14,i=3﹣1=2,此时i=2≤3符合条件,输出S=14.故选:A.点评:本题考查了程序框图.对应的知识点是循环结构,条件结构,其中正确理解各变量的含义并根据程序功能的需要合理的分析是解答的关键.属于基础题.6.(5分)设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β考点:空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.专题:空间位置关系与距离.分析:根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法,可判断A;根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征,可判断B;根据线面平行的性质定理,线面垂直及面面垂直的判定定理,可判断C;根据面面垂直及线面平行的几何特征,可判断D.解答:解:若l∥α,l∥β,则平面α,β可能相交,此时交线与l平行,故A错误;若l⊥α,l⊥β,根据垂直于同一直线的两个平面平行,可得B正确;若l⊥α,l∥β,则存在直线m⊂β,使l∥m,则m⊥α,故此时α⊥β,故C错误;若α⊥β,l∥α,则l与β可能相交,可能平行,也可能线在面内,故D错误;故选B点评:本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系,熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键.7.(5分)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为()A.232B.252C.472D.484考点:排列、组合及简单计数问题.专题:排列组合.分析:不考虑特殊情况,共有种取法,其中每一种卡片各取三张,有种取法,两种红色卡片,共有种取法,由此可得结论.解答:解:由题意,不考虑特殊情况,共有种取法,其中每一种卡片各取三张,有种取法,两种红色卡片,共有种取法,故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C.点评:本题考查组合知识,考查排除法求解计数问题,属于中档题.8.(5分)列命题中是假命题的个数是()①∃α,β∈R,使cos(α+β)=cosα+sinβ;②∀a>0,函数f(x)=ln2x+lnx﹣a有零点③∃m∈R,使f(x)=(m﹣1)x是幂函数,且在(0,+∞)上递减;④若函数f(x)=|2x﹣1|,则∃x1,x2∈[0,1]且x1<x2,使得f(x1)>f(x2).A.0B.1C.2D.3考点:命题的真假判断与应用.专题:阅读型;函数的性质及应用;平面向量及应用.分析:①可举β=0,即可判断;②令f(x)=0,由a>0,通过判别式为1+4a>0即可判断;③由幂函数的定义,求出m的值,代入检验f(x)的单调性,即可判断;④若函数f(x)=|2x﹣1|,当0<x<1时,f(x)=2x﹣1,函数为增函数,由函数的单调性的定义,即可判断.解答:解:①可举β=0,则cos(α+β)=cosα+sinβ成立,故①对;②令f(x)=0,则ln2x+lnx﹣a=0,判别式为1+4a,a>0,即判别式大于0,故方程有实根,故②对;③若f(x)=(m﹣1)x是幂函数,则m﹣1=1,m=2,f(x)=x﹣1,且在(0,+∞)上为减函数.故③对;④若函数f(x)=|2x﹣1|,当0<x<1时,f(x)=2x﹣1,函数为增函数,故④错.故假命题的个数为1.故选B.点评:本题考查简易逻辑的基础知识,考查存在性命题和全称性命题的真假,注意运用举反例,同时考查幂函数的定义及函数的单调性,属于基础题.二.填空题(本大题共6小题,每小题5分,满分30分).9.(5分)函数y=lg(﹣x2﹣2x+3)的定义域是(﹣3,1)(用区间表示).考点:函数的定义域及其求法.专题:函数的性质及应用.分析:根据函数成立的条件,即可求出函数的定义域.解答:解:要使函数f(x)有意义,则﹣x2﹣2x+3>0,即x2+2x﹣3<0,解得﹣3<x<1,故函数的定义域为(﹣3,1),故答案为:(﹣3,1).点评:本题主要考查函数的定义域求法,要求熟练掌握常见函数成立的条件.10.(5分)某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有下表的统计资料如图:x23456y2.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程=1.23x+,则=0.08.考点:线性回归方程.专题:计算题;概率与统计.分析:求出横标和纵标的平均数,代入=1.23x+,即可求出的值.解答:解:由题意,=×(2+3+4+5+6)=4,=×(2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5,代入=1.23x+,可得=0.08.故答案为:0.08.点评:本题考查线性回归方程的应用,是一个运算量比较小的问题,解题时注意平均数的运算不要出错.11.(5分)已知向量=(2,﹣3),=(x,2),且⊥,则|+|的值为.考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:由,得出=0,求出,再求出和||即可.解答:解:∵⊥,∴=0,即2x﹣3×2=0,解得x=3,∴=(3,2),∴=(5,﹣1),∴||==.点评:本题考查了平面向量的应用问题,解题时应用两向量垂直,它们的数量积为0,利用坐标求向量的模长,是基础题.12.(5分)已知x,y满足约束条件,则目标函数z=2x﹣3y的最大值为2.考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.解答:解:由z=2x﹣3y得y=,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC):平移直线y=,由图象可知当直线y=,过点A(1,0)时,直线y=截距最小,此时z最大,代入目标函数z=2x﹣3y,得z=2×1﹣3×0=0.∴目标函数z=2x﹣3y的最大值是2.故答案为:2.点评:本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.13.(5分)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,其公比q≠1,若a1=b1,a11=b11,且{an}和{bn}各项都是正数,则a6与b6的大小关系是>.(填“>”或“=”或“<”)考点:等差数列的性质.专题:等差数列与等比数列.分析:先根据等差数列的性质得a1+a11=b1+b11=2a6,根据基本不等式和等比数列的性质,得到a6与b6的大小关系.解答:解:∵a1=b1,a11=b11∴a1+a11=b1+b11=2a6,则==b6,当等号成立时有b1=b11,此时须有q=1,与已知矛盾,故等号不可能成立,∴b6<a6,故答案为:b6<a6.点评:本题考查等差数列、等比数列的基本性质灵活运用,及均值不等式求最值的应用.14.(5分)已知抛物线C:y2=2px与双曲线﹣y2=1的右焦点重合,则抛物线C上的动点M到直线l1:4x﹣3y+6=0和l2:x=﹣2距离之和的最小值为.考点:双曲线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题.专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:确定p=2,x=﹣1是抛物线准线,作MA⊥l1,MB⊥l2,由抛物线定义MB=MF,当M,A,F三点共线时,距离之和的最小,其值是F到l1距离,由点到直线距离可得结论.解答:解:因为抛物线C:y2=2px与双曲线﹣y2=1的右焦点重合,所以p=4,x=﹣2是抛物线准线,作MA⊥l1,MB⊥l2,由抛物线定义MB=MF,当M,A,F三点共线时,距离之和的最小,其值是F到l1距离,由点到直线距离可得,其距离为.故答案为:.点评:本题考查抛物线、双曲线的性质,考查抛物线的定义,考查学生转化问题的能力,属于中档题.三.解答题(本大题共6题,满分80解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤).15.(12分)已知函数f(x)=2sinx(cosx+sinx)(x∈R)(1)求f()的值;(2)求f(x)在区间[0,π]上的最大值及相应的x值.考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.专题:三角函数的图像与性质.分析:(1)函数解析式去括号后,利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,代入求出f();(2)由x的范围求出的范围,根据正弦函数的最值求出原函数得最大值及x的值.解答:解:(1)f(x)=2sinx(cosx+sinx)=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+1﹣cos2x=∴f()====(2)由x∈[0,π]得,∈∴当时,即时,函数f(x)取最大值,且点评:本题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式,正弦函数的最值,以及两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键.16.(12分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45].(Ⅰ)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35,40)岁的人数;(Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望.考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.专题:概率与统计.分析:(I)根据小矩形的面积等于频率,而频率之和等于1.即可得出x,再用频率×总体容量即可.(II)分层抽样的方法,从100名志愿者中选取20名;则其中年龄“低于35岁”的人有20×(0.01+0.04+0.07)×5=12名,“年龄不低于35岁”的人有8名.X的可能取值为0,1,2,3,再利用超几何分布即可得出,再利用数学期望的计算公式即可得出.解答:解:(I)∵小矩形的面积等于频率,而频率之和等于1.∴(0.07+x+0.04+0.02+0.01)×5=1,解得x=0.06.500名志愿者中,年龄在[35,40)岁的人数为0.06×5×500=150(人).(II)用分层抽样的方法,从100名志愿者中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名,“年龄不低于35岁”的人有8名.故X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==,=,,=.故X的分布列为X0123P∴EX===.点评:本题考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布及其数学期望、概率计算公式等基础知识与基本技能,属于中档题.17.(14分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是线段AB中点.(1)证明:D1E⊥CE;(2)求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值;(3)求A点到平面CD1E的距离.考点:点、线、面间的距离计算;二面角的平面角及求法.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(1)根据线面垂直的性质定理,证明CE⊥面D1DE即可证明:D1E⊥CE;(2)建立坐标系,利用向量法即可求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值;(3)根据点到平面的距离公式,即可求A点到平面CD1E的距离.解答:解:(1)证明:DD1⊥面ABCD,CE⊂面ABCD所以,DD1⊥CE,Rt△DAE中,AD=1,AE=1,DE==,同理:CE=,又CD=2,CD2=CE2+DE2,DE⊥CE,DE∩CE=E,所以,CE⊥面D1DE,又D1E⊂面D1EC,所以,D1E⊥CE.(2)设平面CD1E的法向量为=(x,y,z),由(1)得=(1,1,﹣1),=(1,﹣1,0)•=x+y﹣1=0,•=x﹣y=0解得:x=y=,即=(,,1);又平面CDE的法向量为=(0,0,1),∴cos<,>===,所以,二面角D1﹣EC﹣D的余弦值为,(3))由(1)(2)知=(0,1,0),平面CD1E的法向量为=(,,1)故,A点到平面CD1E的距离为d===.点评:本题主要考查直线和平面垂直的性质,以及空间二面角和点到直线的距离的计算,利用向量法是解决本题的关键.18.(14分)已知等差数列{an}中,a1=1,公差d>0,且a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满足对任意的n∈N*均有an+1=b1c1+b2c2+…+bncn成立,求证:c1+c2+…+cn<4.考点:数列的求和.专题:点列、递归数列与数学归纳法.分析:(1)根据等差数列性质,即可求数列的通项公式;(2)求出cn的通项公式,利用作差法即可求数列{cn}的前n项和,即可证明不等式.解答:解:(1)∵a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),∴d=2或d=0(舍去),则an=2n﹣1.又b2=a2=3,b3=a5=9,则公比q=3,即bn=3n﹣1.(2)证明:当n=1时,a2=b1c1,∴c1=3<4,当n≥2,an+1=b1c1+b2c2+…+bncn,an=b1c1+b2c2+…+bn﹣1cn﹣1,两式相减得an+1﹣an=bncn,即cn=,(n≥2)∴c1+c2+…+cn=3+=44成立,所以,对于任意的c1+c2+…+cn<4.点评:本题主要考查递推数列的应用,以及数列求和,综合性较强,运算量较大.19.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(﹣1,0)、F2(1,0),且经过定点P(1,),M(x0,y0)为椭圆C上的动点,以点M为圆心,MF2为半径作圆M.(1)求椭圆C的方程;(2)若圆M与y轴有两个不同交点,求点M横坐标x0的取值范围;(3)是否存在定圆N,使得圆N与圆M恒相切?若存在,求出定圆N的方程;若不存在,请说明理由.考点:椭圆的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)由题设知及椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a,求出a=2.又c=1.由此能求出椭圆方程.(2)先设M(x0,y0),得到圆M的半径r=,再利用圆心M到y轴距离d=|x0|,结合圆M与y轴有两个交点时,则有r>d,即可构造关于x0不等式,从而解得点M横坐标的取值范围.(3)存在定圆N:(x+1)2+y2=16与圆M恒相切,利用椭圆的定义,即可得出结论.解答:解:(1)由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a,即2a=4,∴a=2.又c=1,∴b2=a2﹣c2=3.故椭圆方程为(2)设M(x0,y0),则圆M的半径r=,圆心M到y轴距离d=|x0|,若圆M与y轴有两个交点则有r>d即>|x0|,化简得.∵M为椭圆上的点∴得,解得﹣4<x0<.∵﹣2≤x0≤2,∴﹣2≤x0<.(3)存在定圆N:(x+1)2+y2=16与圆M恒相切,其中定圆N的圆心为椭圆的左焦点F1,半径为椭圆C的长轴长4.∵由椭圆定义知,|MF1|+|MF2|=4,即|MF1|=4﹣|MF2|,∴圆N与圆M恒内切.点评:本题考查椭圆方程和直线与圆锥曲线的关系,综合性强,是2015届高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.20.(14分)已知函数f(x)=ax+x2﹣xlna,a>1.(1)求证函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)若函数y=|f(x)﹣b+|﹣3有四个零点,求b的取值范围;(3)若对于任意的x∈[﹣1,1]时,都有f(x)≤e2﹣1恒成立,求a的取值范围.考点:函数恒成立问题;函数零点的判定定理.专题:综合题;导数的综合应用.分析:(1)求导函数,即可得函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)先判断函数f(x)的极小值,再由函数有四个零点,进行等价转化方程有解问题,去掉绝对值,变成两个方程,即可解出b的范围;(3)求出f(x)的最大值,要使f(x)≤e2﹣1恒成立,只需a﹣lna≤e2﹣2即可,从而求出a的取值范围.解答:(1)证明∵f(x)=ax+x2﹣xlna,∴f′(x)=ax•lna+2x﹣lna=(ax﹣1)lna+2x.…(2分)∵a>1,x>0,∴ax﹣1>0,lna>0,2x>0,∴当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,即函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增…(4分)(2)解:由(1)知当x∈(﹣∞,0)时,f′(x)<0,∴f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.∴f(x)取得最小值为f(0)=1…(5分)由|f(x)﹣b+|﹣3=0,得f(x)=b﹣+3或f(x)=b﹣﹣3,∴要使函数y=|f(x)﹣b+|﹣3有四个零点,只需…(7分)即b﹣>4,即>0,解得b>2+或2﹣<b<0.故b的取值范围是(2﹣,0)∪(2+,+∞)…(8分)(3)解:由(1)知f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,f(﹣1)=+1+lna,f(1)=a+1﹣lna,∴f(1)﹣f(﹣1)=a﹣﹣2lna令H(x)=x﹣﹣2lnx(x>0),则H′(x)=1+﹣==>0,∴H(x)在(0,+∞)上单调递增.∵a>1,∴H(a)>H(1)=0.∴f(1)>f(﹣1)∴|f(x)|的最大值为f(1)=a+1﹣lna,…(12分)∴要使f(x)≤e2﹣1恒成立,只需a﹣lna≤e2﹣2即可令h(a)=a﹣lna(a>1),h′(a)=1﹣>0,∴h(a)在(1,+∞)上单调递增.∵h(e2)=e2﹣2,∴只需h(a)≤h(e2),即1<a≤e2.故a的取值范围是(1,e2]…(14分)点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是利用导数确定函数的最值.

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